Question

（2006•宝山区二模）定义区间长度m为这样的一个量：m的大小为区间右端点的值减去区间左端点的值．若关于x的不等式x²-ax-6a＜0有解，且解集的区间长度不超过5个单位长，则a的取值范围是（　　）

A．[-25，1]

B．（-∞，25]∪[1，+∞）

C．[-25，0）∪（1，24）

D．[-25，-24）∪（0，1]

Answer 1

分析：关于x的不等式x²-ax-6a＜0有解，因此必须△=a²+24a＞0，解得a的取值范围（*）．由x²-ax-6a=0解得．
不妨设x₁＜x₂，不等式解集为（x₁，x₂），利用解集的区间长度不超过5个单位长，可得x₂-x₁≤5，解得a的取值范围与（*）求出其交集即可．

解答：解：∵关于x的不等式x²-ax-6a＜0有解，∴△=a²+24a＞0，解得a＞0或a＜-24．
由x²-ax-6a=0解得x1=

a- a2+24a

2

，x2=

a+ a2+24a

2

．
∵x₁＜x₂，不等式解集为（x₁，x₂），
∵解集的区间长度不超过5个单位长，∴

a2+24a

≤5，解得-25≤a≤1，
∵a＞0或a＜-24，
∴-25≤a＜-24或0＜a≤1．
故选D．

点评：熟练掌握一元二次不等式的解集与△及相应的一元二次方程的实数根的关系、新定义、交集的运算等是解题的关键．