Question

已知圆M：（x-2）²+（y-2）²=10和点A（3，5），直线l经过点A且与圆M相切．
（1）求直线l方程；
（2）过A作圆的两条弦AB、AC，且直线AB和AC的斜率相反，求证直线BC的斜率为定值．

Answer 1

考点：圆的切线方程,直线与圆的位置关系

专题：计算题,证明题,直线与圆

分析：（1）可知A在圆上，故A为切点，且切线只有一条，由相切的知识，求出斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；
（2）若直线AB与直线AC的斜率互为相反数，又它们都经过A点，则可以设出它们的点斜式方程，代入圆方程后，求出BC两点的坐标，代入斜率公式，即可求证出正确的结论．

解答： （1）解：由于圆M：（x-2）²+（y-2）²=10和点A（3，5），
将A的坐标代入圆方程成立，故A在圆上，
又圆心M为（2，2），
则直线AM的斜率为3，故切线的斜率为-

1

3

，
则切线方程为：y-5=-

1

3

（x-3），即x+3y-18=0．
故直线l的方程为：x+3y-18=0．
（2）证明：设AB：y=k（x-3）+5，代入圆的方程整理得：
（1+k²）x²+（6k-6k²-4）x+9k²-18k+3=0
∵3，x₁是上述方程的两根，
∴3x₁=

9k2-18k+3

1+k2

，即x₁=

3k2-6k+1

1+k2

，y₁=

-6k2-2k

1+k2

．
由直线AB和AC的斜率相反，可设AC：y=-k（x-3）+5，
同理可得：x₂=

3k2+6k+1

1+k2

，y₂=

-6k2+2k

1+k2

，
∴k_BC=

y1-y2

x1-x2

=

1

3

则直线BC的斜率为定值

1

3

．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查直线与圆相切的特点和直线方程与圆方程联立，运用韦达定理求解，以及直线斜率的公式，考查运算能力，属于中档题．