Question

14．已知两正数x，y 满足x+y=1，则z=$（x+\frac{1}{x}）（y+\frac{1}{y}）$的最小值为（　　）

• A． $\frac{33}{4}$
• B． $\frac{25}{4}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{17}}}{4}$

Answer 1

分析 展开，并根据x+y=1可以得到$z=xy+\frac{2}{xy}-2$，可令t=xy，并求出$t∈（0，\frac{1}{4}]$，而根据$f（t）=t+\frac{2}{t}$的单调性即可求出f（t）的最小值，进而求出z的最小值．

解答 解：z=$（x+\frac{1}{x}）（y+\frac{1}{y}）$
=$xy+\frac{1}{xy}+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$
=$xy+\frac{1}{xy}+\frac{（x+y）^{2}-2xy}{xy}$
=$xy+\frac{2}{xy}-2$；
令t=xy，则$0＜t=xy≤{（\frac{x+y}{2}）^2}=\frac{1}{4}$；
由$f（t）=t+\frac{2}{t}$在$（{0，\frac{1}{4}}]$上单调递减，故当t=$\frac{1}{4}$时 $f（t）=t+\frac{2}{t}$有最小值$\frac{33}{4}$，
即：$x=y=\frac{1}{2}$时z有最小值$\frac{25}{4}$．
故选B．

点评 考查基本不等式的应用，注意等号成立的条件，要熟悉函数$f（x）=x+\frac{a}{x}（a＞0）$的单调性．