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已知四棱锥的底面为直角梯形,底面,且的中点.
⑴求证:直线平面
⑵⑵若直线与平面所成的角为,求二面角的余弦值.
⑴见解析;⑵1

试题分析:方法一:几何法证明求角.
⑴要证直线平面,需要在平面内找到一条与平行的直线.显然不容易找到;故考虑利用面面平行退出线面平行, 取的中点,构造平面,根据 ,可证.
⑵要求二面角,方法一:找到二面角的平面角,角的顶点在棱,角的两边在两个半平面内中,并且角的两边与棱垂直.取取的中点,连接就是所求角.
方法二:建立空间直角坐标系,利用向量证明,求角.
试题解析:
⑴证明:取的中点,则,故平面;
又四边形正方形,∴,故∥平面;
∴平面平面,
平面.
⑵由底面,得底面;
与平面所成的角为;
, ∴都是边长为正三角形,
的中点,则,且 .

为二面角的平面角;在中 

∴二面角的余弦值
方法二:⑴设,因为
∴以A为坐标原点如图建立空间直角坐标系,取的中点
则各点坐标为:;
,∴,∴,∴平面;
⑵由底面,得与平面所成角的大小为;
,∴,;
的中点,则因;
,且,∴为二面角的平面角;
;∴二面角的余弦值
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