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已知数列{an},{bn}满足bn=an+1-an,其中n=1,2,3,….
(Ⅰ)若a1=1,bn=n,求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若bn+1bn-1=bn(n≥2),且b1=1,b2=2.
(ⅰ)记cn=a6n-1(n≥1),求证:数列{cn}为等差数列;
(ⅱ)若数列{
ann
}
中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次.求a1应满足的条件.
分析:(Ⅰ)根据数列的基本性质以及题中已知条件便可求出数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)(ⅰ)先根据题中已知条件推导出bn+6=bn,然后求出cn+1-cn为定值,便可证明数列{cn}为等差数列;
(ⅱ)数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列,然后分别讨论当ai=
7i
6
时和当ai
7i
6
时,数列{
an
n
}
是否满足题中条件,便可求出a1应满足的条件.
解答:解:(Ⅰ)当n≥2时,
有an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1
=a1+b1+b2+…+bn-1(2分)
=1+
(n-1)×n
2
=
n2
2
-
n
2
+1
.(3分)
又因为a1=1也满足上式,
所以数列{an}的通项为an=
n2
2
-
n
2
+1
.(4分)
(Ⅱ)由题设知:bn>0,对任意的n∈N*有bn+2bn=bn+1,bn+1bn+3=bn+2得bn+3bn=1,
于是又bn+3bn+6=1,故bn+6=bn(5分)
∴b6n-5=b1=1,b6n-4=b2=2,b6n-3=b3=2,b6n-2=b4=1,b6n-1=b5=
1
2
b6n=
1
2

(ⅰ)cn+1-cn=a6n+5-a6n-1=b6n-1+b6n+b6n+1+b6n+2+b6n+3+b6n+4=1+2+2+1+
1
2
+
1
2
=7
(n≥1),
所以数列{cn}为等差数列.(7分)
(ⅱ)设dn=a6n+i(n≥0),(其中i为常数且i∈{1,2,3,4,5,6}),
所以dn+1-dn=a6n+6+i-a6n+i=b6n+i+b6n+i+1+b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4+b6n+i+5=7(n≥0)
所以数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列.(9分)
fk=
a6k+i
6k+i
=
ai+7k
i+6k
=
7
6
(i+6k)+ai-
7i
6
i+6k
=
7
6
+
ai-
7i
6
i+6k

(其中n=6k+i(k≥0),i为{1,2,3,4,5,6}中的一个常数),
ai=
7i
6
时,对任意的n=6k+i有
an
n
=
7
6
;(10分)
ai=
7i
6
,i∈{1,2,3,4,5,6}知a1=
7
6
4
3
1
2
,-
1
3
,-
1
6
1
2

此时
7
6
重复出现无数次.
ai
7i
6
时,fk+1-fk=
ai-
7i
6
6(k+1)+i
-
ai-
7i
6
6k+i
=(ai-
7i
6
)(
1
6(k+1)+i
-
1
6k+i
)
=(ai-
7i
6
)(
-6
[6(k+1)+i](6k+i)
)

①若ai
7i
6
,则对任意的k∈N有fk+1<fk,所以数列{
a6k+i
6k+i
}
为单调减数列;
②若ai
7i
6
,则对任意的k∈N有fk+1>fk,所以数列{
a6k+i
6k+i
}
为单调增数列;
(12分){
a6k+i
6k+i
}
(i=1,2,3,4,5,6)均为单调数列,任意一个数在这6个数列中最多各出现一次,
即数列{
an
n
}
中任意一项的值最多出现六次.
综上所述:当a1∈{
7
6
4
3
1
2
,-
1
3
,-
1
6
}=B
时,数列{
an
n
}
中必有某数重复出现无数次.
当a1∉B时,数列{
an
n
}
中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次.(14分)
点评:本题考查了等差数列的基本性质和数列的递推公式,考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握,解题时分类讨论思想和转化思想的运用,属于中档题.
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an
=
1
2
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an=
5
      n=1
2n+2
    n≥2
an=
5
      n=1
2n+2
    n≥2

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2n
2n

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