【题目】在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2ccosA+a=2b.
(1)求角C的值;
(2)若a+b=4,当c取最小值时,求△ABC的面积.
【答案】
(1)解:方法一:∵2ccosA+a=2b,
∴2sinCcosA+sinA=2sinB,
∵A+B+C=π,
∴2sinCcosA+sinA=2sin(A+C),
即 2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC,
∴sinA=2sinAcosC,
∵sinA≠0,∴cosC= ,
又∵C是三角形的内角,∴C= .
方法二:∵2ccosA+a=2b,
∴ ,
∴b2+c2﹣a2+ab=2b2,即 c2=a2+b2﹣ab,
∴ ,
又∵C是三角形的内角,∴c= .
(2)解:方法一:由余弦定理得:c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab,
∵a+b=4,故c2=a2+b2﹣ab=(a+b)2﹣3ab=16﹣3ab,
∴ (当且仅当a=b=2时等号成立),
∴c的最小值为2,故 .
方法二:由已知,a+b=4,即b=4﹣a,
由余弦定理得,c2=a2+b2﹣ab=(a+b)2﹣3ab,
∴c2=16﹣3a(4﹣a)=3(a﹣2)2+4,
∴当a=2时,c的最小值为2,故 .
【解析】方法一:(1)利用正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简已知的式子,由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C;(2)利用余弦定理列出方程,由条件和完全平方公式化简后,利用基本不等式求出c的最小值,由面积公式求出△ABC的面积;方法二:(1)利用余弦定理化简已知的式子得到边的关系,由余弦定理求出cosC的值,由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C;(2)利用余弦定理列出方程,结合条件消元后,利用一元二次函数的性质求出c的最小值,由面积公式求出△ABC的面积.
【考点精析】掌握正弦定理的定义和余弦定理的定义是解答本题的根本,需要知道正弦定理:;余弦定理:;;.
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【题目】如图,已知双曲线 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2 , |F1F2|=8,P是双曲线右支上的一点,直线F2P与y轴交于点A,△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q,若|PQ|=2,则该双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.2
D.3
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【题目】x∈R,则f(x)与g(x)表示同一函数的是( )
A.f(x)=x2 ,
B.f(x)=1,g(x)=(x﹣1)0
C. ,
D. ,g(x)=x﹣3
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【题目】某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( )
甲 | 乙 | 原料限额 | |
A(吨) | 3 | 2 | 12 |
B(吨) | 1 | 2 | 8 |
A.12万元
B.16万元
C.17万元
D.18万元
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【题目】已知函数 ,其中a>0.
(Ⅰ)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求f(x)在区间[1,e]上的最小值.(其中e是自然对数的底数)
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【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 对任意的n∈N* , 点(n,Sn)恒在函数y= x的图象上.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记Tn= ,若对于一切的正整数n,总有Tn≤m成立,求实数m的取值范围;
(3)设Kn为数列{bn}的前n项和,其中bn=2an , 问是否存在正整数n,t,使 成立?若存在,求出正整数n,t;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知f(x)= (x∈R,且x≠﹣1),g(x)=x2+2(x∈R).
(1)求f(2),g(2)的值;
(2)求f(g(2)),g(f(2))的值;
(3)求f(g(x)).
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【题目】已知f(x)为定义在R上的偶函数,当x≤﹣1时,f(x)=x+b,且f(x)的图象经过点(﹣2,0),在y=f(x)的图象中有一部分是顶点为(0,2),过点(﹣1,1)的一段抛物线.
(1)试求出f(x)的表达式;
(2)求出f(x)的值域.
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【题目】已知数列{an}前n项和为Sn , 首项为a1 , 且 ,an , Sn成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{bn}满足bn=(log2a3n+1)×(log2a3n+4),求证: + + +…+ < .
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