Question

17．如图，在△ABC中，AO⊥BC于O，OB=2OA=2OC=4，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，BD与AE相交于H，CD与AF相交于G，将△ABO沿OA折起，使二面角B-OA-C为直二面角．
（Ⅰ）在底面△BOC的边BC上是否存在一点P，使得OP⊥GH，若存在，请计算BP的长度；若不存在，请说明理由；
（Ⅱ）求二面角A-GH-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据条件便知H，G分别为△AOB，△AOC的重心，从而有GH∥EF∥BC，并可说明∠BOC为直角，过O作OP⊥BC，从而有OP⊥GH，而根据摄影定理便有$BP=\frac{O{B}^{2}}{BC}$，这样即可求出BP的长度；
（Ⅱ）根据上面知OB，OC，OA三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，从而可以根据条件求出图形上一些点的坐标，从而可以得到向量$\overrightarrow{HG}，\overrightarrow{HA}，\overrightarrow{HD}$的坐标，可设平面AGH的法向量为$\overrightarrow{m}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，而根据$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{HG}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{HA}=0}\end{array}\right.$即可求出$\overrightarrow{m}$，同样的方法可以求出平面DGH的一个法向量$\overrightarrow{n}$，根据cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$即可得出二面角A-GH-D的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）H，G分别为△AOB和△AOC的重心；
∴$\frac{AH}{HE}=\frac{AG}{GF}=\frac{2}{1}$；
连接EF，则GH∥EF；
由已知，EF∥BC，∴GH∥BC；
∵OA⊥OB，OA⊥OC，二面角B-OA-C为直二面角；
∴∠BOC为直角；
∴在Rt△BOC中，过O作BC的垂线，垂足为P，OP⊥BC，又BC∥GH；
∴OP⊥GH，则由摄影定理得：OB²=BP•BC；
∴$BP=\frac{O{B}^{2}}{BC}=\frac{16}{\sqrt{16+4}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}$；
（Ⅱ）分别以OB，OC，OA为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：

O（0，0，0），A（0，0，2），D（0，0，1），B（4，0，0），C（0，2，0），H（$\frac{4}{3}，0，\frac{2}{3}$），$G（0，\frac{2}{3}，\frac{2}{3}）$；
∴$\overrightarrow{HG}=（-\frac{4}{3}，\frac{2}{3}，0），\overrightarrow{HA}=（-\frac{4}{3}，0，\frac{4}{3}）$，$\overrightarrow{HD}=（-\frac{4}{3}，0，\frac{1}{3}）$；
设$\overrightarrow{m}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$为平面AGH的法向量，则：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{HG}=-\frac{4}{3}{x}_{1}+\frac{2}{3}{y}_{1}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{HA}=-\frac{4}{3}{x}_{1}+\frac{4}{3}{z}_{1}=0}\end{array}\right.$；
取x₁=1，则y₁=2，z₁=1，∴$\overrightarrow{m}=（1，2，1）$；
设$\overrightarrow{n}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$为平面DGH的法向量，则：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{HG}=-\frac{4}{3}{x}_{2}+\frac{2}{3}{y}_{2}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{HD}=-\frac{4}{3}{x}_{2}+\frac{1}{3}{z}_{2}=0}\end{array}\right.$；
取x₂=1，则$\overrightarrow{n}=（1，2，4）$；
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞=\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{9}{\sqrt{6}×\sqrt{21}}=\frac{3\sqrt{14}}{14}$；
∴由图可知二面角A-GH-D为锐角，∴该二面角的余弦值为$\frac{3\sqrt{14}}{14}$．

点评 考查三角形重心的概念及其性质，平行线分线段成比例，三角形中位线的性质，以及二面角的平面角的定义，直角三角形的摄影定理的内容，建立空间直角坐标系，利用空间向量解决二面角问题的方法，平面的法向量的概念及求法，能求空间点的坐标，根据点的坐标求向量的坐标，向量垂直的充要条件，以及向量夹角的余弦公式，清楚两平面所成二面角的大小和两平面的法向量夹角的关系．