Question

若（x+2+m）⁹=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₉（x+1）⁹且（a₀+a₂+…+a₈）²-（a₁+a₃+…+a₉）²=3⁹，则实数m的值是

 

．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：计算题,二项式定理

分析：分别令x=-2，和x=0，求得（a₀+a₂+…+a₈）-（a₁+a₃+…+a₉）=m⁹，a₀+a₂+…+a₈+a₁+a₃+…+a₉=（2+m）⁹，再根据（a₀+a₂+…+a₈）²-（a₁+a₃+…+a₉）²=3⁹，求得m的值．

解答： 解：在（x+2+m）⁹=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₉（x+1）⁹中，
令x=-2可得 a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₈-a₉=m⁹，即[（a₀+a₂+…+a₈）-（a₁+a₃+…+a₉）]=m⁹，
令x=0，可得 a₀+a₂+…+a₈+a₁+a₃+…+a₉=（2+m）⁹，
∵（a₀+a₂+…+a₈）²-（a₁+a₃+…+a₉）²=3⁹，
∴（a₀+a₂+…+a₈+a₁+a₃+…+a₉）[（a₀+a₂+…+a₈）-（a₁+a₃+…+a₉）]=3⁹，
∴（2+m）⁹•m⁹=（2m+m²）⁹=3⁹，
可得 2m+m²=3，
解得m=1，或m=-3
故答案为：-3或1．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于基础题．