Question

【题目】设函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣5|．
（1）当a=1时，求f（x）的最小值；
（2）如果对任意的实数x，都有f（x）≥1成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据题意将绝对值符号去掉得分段函数：

，

作出函数的图象，如图：

由图象可知，函数f（x）的最小值为4

（2）解：∵对x∈R，f（x）≥1，

∴|x﹣a|+|x﹣5|≥1对一切实数x恒成立，

∵|x﹣a|+|x﹣5|=|a﹣x|+|x﹣5|≥|a﹣5|，

∴|a﹣5|≥1，

∴a≥6或a≤4，

∴a的取值范围为（﹣∞，4]∪[6，+∞）．

【解析】（1）将f（x）写成分段函数的形式，画出函数图象即可；（2）根据绝对值的几何意义得到关于a的不等式，求出a的范围即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用绝对值不等式的解法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．