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已知各项均为正数的等比数列{an}的公比为q,且0<q<
(1)在数列{an}中是否存在三项,使其成等差数列?说明理由;
(2)若a1=1,且对任意正整数k,ak-(aK+1+ak+2)仍是该数列中的某一项.
(ⅰ)求公比q;
(ⅱ)若bn=-log+1),Sn=b1+b2+…+bn,Tn=S1+S2+…+Sn,试用S2011 表示T2011
【答案】分析:(1)由题意知数列{an}是递减正项数列,因此设ak、am、an(k<m<n)成等差数列,根据等差中项的定义列式并化简可得2qm-k=1+qn-k,结合公比0<q<可得此方程没有实数根,故数列{an}中不存在三项成等差数列.
(2))(i)化简得ak-(ak+1+ak+2)=a1qk-1[-(q-2],结合[-(q+2]∈(,1)讨论可得只有ak-(ak+1+ak+2)=ak+1,得到方程q2+2q-1=0解之得q=(舍负);
(ii)由等比数列的通项公式,结合对数运算性质得bn=,从而得到Sn=1+++…+,进而得到Tn=1+(1+)+(1++)+…+(1+++…+),对此式重新组合整理得Tn=(n+1)Sn-n,由此将n=2011代入即可得到用S2011 表示T2011的式子.
解答:解:(1)根据题意,an=a1qn-1,其中0<q<
∵an>0,∴an+1<an对任意n∈N+恒成立,
设{an}中存在三项ak、am、an(k<m<n),满足成等差数列
则2am=ak+an,即2qm-k=1+qn-k
由2qm-k<1且1+qn-k>1,可得上式不能成立.因此数列{an}中不存在三项,使其成等差数列.
(2)(i)ak-(ak+1+ak+2)=a1qk-1(1-q-q2)=a1qk-1[-(q-2]
∵[-(q+2]∈(,1),
∴ak-(aK+1+ak+2)<ak<ak-1<…<a2<a1,且ak-(aK+1+ak+2)>ak+2>ak+3>…
因此,只有ak-(ak+1+ak+2)=ak+1,化简可得q2+2q-1=0
解之得q=(舍负);
(ii)∵a1=1,q=
∴an=(n-1,可得bn=-log+1)==
因此,Sn=b1+b2+…+bn=1+++…+
Tn=S1+S2+…+Sn=1+(1+)+(1++)+…+(1+++…+
=n+(n-1)+(n-2)+…+[n-(n-1)]=n(1+++…+)-(++…+
=nSn-[(1-)+(1-)+…+(1-)]=nSn-[(n-1)-(++…+)]
=nSn-[n-(1+++…+)]=nSn-n+Sn=(n+1)Sn-n
由此可得:T2011=2012S2011-2011.
点评:本题给出公比小于的正项等比数列,讨论它的某三项成等差数列,求数列的通项公式并依此解决数列{bn}的前n项和的问题.着重考查了等差数列、等比数列的通项公式与求和公式,以及数列与函数的综合等知识,属于中档题.
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