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    精英家教网如图，已知海岛A与海岸公路BC的距离为50km，B、C间的距离为100km，从A到C，先乘船，船速为25km/h，再乘汽车，车速为50km/h．设登陆点在D处，从A到C所用的时间为y（单位：h）．
    （1）按下列要求建立函数关系：①设∠BAD=θ（rad），将y表示为θ的函数；②设BD=x（km），将y表示为x的函数．
    （2）请选用（1）中的一个函数关系，确定登陆点D的位置，使从A到C所用时间最少？并求出所用的最少时间．
    分析：（1）①用θ表示出AD与BD，从而可以表示出DC，由路程除以速度得时间，建立起时间关于θ函数即可；
    ②设BD=x（km），可用公股定理求出AD，再由BC=100，用x表示出DC，由路程除以速度得时间，建立起时间关于x函数即可；
    （2）选①，对函数进行求导研究函数的单调性，借助三角函数的性质可得出当当θ=
    π
    6
    时，用时最少，代入函数关系式求出最值即可．
    选②对函数求导，研究出函数的单调性确定出当x=
    50
    		3
    3
    时，用时最少，求出x=
    50
    		3
    3
    时的函数值即可，
    解答：解：（1）①在Rt△ABD中，AB=50km，∴BD=50tanθ，AD=
    50
    cosθ
    ，∴DC=100-BD=100-50tanθ．
    ∴y=
    AD
    25
    +
    DC
    50
    =
    2
    cosθ
    +2-tanθ=
    2+2cosθ-sinθ
    cosθ
    (0≤θ≤α，其中tanα=2，α∈[0，
    π
    2
    ))    …（4分）

    ②在Rt△ABD中，DC=100-x，AD=
    		x2+502
    ，
    ∴y=
    AD
    25
    +
    DC
    50
    =
    1
    25
    		x2+2500
    +2-
    x
    50
    (0≤x≤100)    ．…．（8分）
    注：定义域不写或写错扣（1分）
    （2）①y′=
    2sinθ-1
    cos2θ
    ，…．（10分）
    当0＜θ＜
    π
    6
    时，y'＜0，∴函数y在(0，
    π
    6
    )    单调递减；
    当
    π
    6
    ＜θ＜α，tanα=2，α∈[0，
    π
    2
    )    时，y'＞0，
    ∴函数y在（0，α）单调递增…．（12分）
    ∴当θ=
    π
    6
    时，ymin=
    2+2cos
    π
    6
    -sin
    π
    6
    cos
    π
    6
    =2+
    		3．
    …．（13分）
    此时BD=50tan
    π
    6
    =
    50
    		3
    3
    ．…．（14分）
    答：当BD=
    50
    		3
    3
    km    时，从A到C所用时间最少为(2+
    		3
    )h    ．…．（15分）
    ②y′=
    x
    25
    		x2+2500
    -
    1
    50
    =
    2x-
    		x2+2500
    50
    		x2+2500
    ．…．（10分）
    当0＜x＜
    50
    		3
    时，y'＜0，∴函数y在(0，
    50
    		3
    )    单调递减；
    当
    50
    		3
    ＜x＜100    时，函数在(
    50
    		3
    ，100)    单调递增…．（12分）
    ∴当x=
    50
    		3
    3
    时，ymin=2+
    		3．
    ．…（14分）
    答：当BD=
    50
    		3
    3
    km    时，从A到C所用时间最少为(2+
    		3
    )h    …．（15分）
    点评：本题考查在实际问题中建立三角函数模型，应用三角函数模型求解用时最少的问题，求解本题的关键是对问题进行细致分析得出符合条件的函数模型，本题在求最值时用到了导数研究单调性，用导数研究函数的单调性是一个非常方便的工具，遇到判断函数的单调性的问题时不妨优先考虑一下用导数．本题符号较多，运算较繁，极易出错，做题时要认真严谨．
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