Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥PB，PC=2．
（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；
（2）若PA=PB，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取AB的中点O，连接AC，CO，PO，

由ABCD是边长为2的菱形，可得AB=BC=2，

又∠ABC=60°，可得△ABC为等边三角形，

即有CO⊥AB，OC= ，

由PA⊥PB，可得OP= AB=1，

而PC=2，

由OP2+OC2=12+（ ）2=22=PC2，

可得CO⊥OP，

而AB，OP为相交二直线，可得CO⊥平面PAB，

又OC平面ABCD，

即有平面PAB⊥平面ABCD

（2）解：由PA=PB，可得PO⊥AB，

又平面PAB⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD，

直线OC，OB，OP两两垂直，

以O为坐标原点，分别以OC，OB，OP所在直线为x，y，z轴，

建立空间直角坐标系O﹣xyz，

则O（0，0，0），A（0，﹣1，0），P（0，0，1），B（0，1，0），

C（ ，0，0），D（ ，2，0），

可得 =（ ，0，﹣1）， =（0，1，1）， =（0，2，0），

设平面APC的一个法向量为 =（x1，y1，z1），平面DPC的一个法向量为 =（x2，y2，z2），

由 可得 ，取z1= ，可得 =（1，﹣ ， ），

由 ，可得 ，取x2= ，可得 =（ ，0，3），

由题意可得二面角A﹣PC﹣D为锐角二面角，记为θ，

则cosθ=|cos＜ ， ＞|= = = ．

即有二面角A﹣PC﹣D的余弦值为 ．

【解析】（1）取AB的中点O，连接AC，CO，PO，运用菱形和等边三角形的性质，以及线面垂直的判定定理，可得CO⊥平面PAB，再由面面垂直的判定定理即可得证；（2）由面面垂直的性质定理，可得直线OC，OB，OP两两垂直，以O为坐标原点，分别以OC，OB，OP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，分别求得O，A，P，B，C，D， ， ， 的坐标， 设平面APC的一个法向量为 =（x1 ， y1 ， z1），平面DPC的一个法向量为 =（x2 ， y2 ， z2），运用向量垂直的条件：数量积为0，求得一个法向量，再由向量的夹角公式计算即可得到所求值．
【考点精析】本题主要考查了平面与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能正确解答此题．