Question

6．已知顶点是坐标原点，对称轴是x轴的抛物线经过点$A（{\frac{1}{2}，-\sqrt{2}}）$．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）直线l过定点P（-2，1），斜率为k，当k为何值时，直线与抛物线有公共点？

Answer 1

分析 （1）设抛物线的方程为y²=2px，把A点的坐标$（{\frac{1}{2}，-\sqrt{2}}）$代入方程，求解即可．
（2）直线l的方程为y-1=k（x+2），即y=kx+2k+1，联立方程组$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+2k+1}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$，消去x，化简得ky²-4y+4（2k+1）=0，①当k=0，求解直线与抛物线有一个公共点$（{\frac{1}{4}，1}）$，②当k≠0，通过$\left\{{\begin{array}{l}{k≠0}\\{△={{（{-4}）}^2}-4k•4（{2k+1}）≥0}\end{array}}\right.$
求解k的范围即可．

解答 解：（1）依题意设抛物线的方程为y²=2px，
把A点的坐标$（{\frac{1}{2}，-\sqrt{2}}）$代入方程得${（{-\sqrt{2}}）^2}=2p×\frac{1}{2}$，
解得p=2∴抛物线的标准方程y²=4x；
（2）直线l的方程为y-1=k（x+2），即y=kx+2k+1
解联立方程组$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+2k+1}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$，消去x，
得${y^2}=\frac{4}{k}（{y-2k-1}）$，化简得ky²-4y+4（2k+1）=0
①当k=0，代入ky²-4y+4（2k+1）=0得y=1代入y²=4x，得$x=\frac{1}{4}$
这时直线与抛物线有一个公共点$（{\frac{1}{4}，1}）$，
②当k≠0，依题意得$\left\{{\begin{array}{l}{k≠0}\\{△={{（{-4}）}^2}-4k•4（{2k+1}）≥0}\end{array}}\right.$
解得-1≤k＜0或$0＜k≤\frac{1}{2}$
综合①②，当$-1≤k≤\frac{1}{2}$时直线与抛物线有公共点．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线方程的求法，考查计算能力．