Question

已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a²+2b²+4c²+4d²=5则a的最大值为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．.4

Answer 1

分析：根据柯西不等式当n=3时的不等式：（x12+x22+x32）（y12+y22+y32）≥（x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃）²，得到（2b²+4c²+4d²）（

1

2

+

1

4

+

1

4

）≥（b+c+d）²．从而得到关于a不等式：5-a²≥（3-a）²，解之得1≤a≤2，最后根据柯西不等式取等号的条件，找到当b=

1

2

，c=d=

1

4

时，a有最大值2．

解答：解：根据柯西不等式，得（2b²+4c²+4d²）（

1

2

+

1

4

+

1

4

）≥（b+c+d）²
当且仅当2b=4c=4d时，等号成立
∵a+b+c+d=3，a²+2b²+4c²+4d²=5
∴5-a²≥（3-a）²，解之得1≤a≤2，
当且仅当2b=4c=4d且b+c+d=1时，即当b=

1

2

，c=d=

1

4

时，a有最大值2．
故选B

点评：本题在a+b+c+d=3，a²+2b²+4c²+4d²=5的情况下，求实数a的最大值，着重考查了柯西不等式及其应用，属于中档题，解题时应该注意柯西不等式等号成立的条件．