分析 (1)利用已知条件列出方程,求解a,b即可得到椭圆方程.
(2)假设存在这样的直线.联立直线与椭圆方程,设A(x1,y1),B(x2,y2),利用韦达定理,通过$|{2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|=|{2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}}$|,化简求解即可.
解答 解:(1)由已知椭圆C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1({a>b>0})$的长轴是圆x2+y2=4的一条直径,2a=4,右焦点到直线x+y-2$\sqrt{3}$=0的距离为$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$.
$\frac{{|{c-2\sqrt{3}}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$,
解得a=2,$c=\sqrt{3}$,所以b=1,
椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$.
(2)假设存在这样的直线.
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,△=16(4k2-m2+1)>0,(*)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{4{k^2}+1}}$,${x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-4}}{{4{k^2}+1}}$,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=${k^2}{x_1}{x_2}+km({{x_1}+{x_2}})+{m^2}$=$\frac{{{k^2}({4{m^2}-4})}}{{4{k^2}+1}}-\frac{{8{k^2}{m^2}}}{{4{k^2}+1}}+{m^2}$=$\frac{{{m^2}-4{k^2}}}{{4{k^2}+1}}$,
由$|{2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|=|{2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}}$|得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$,即x1x2+y1y2=0,
故4k2=5m2-4,代入(*)式得$m<-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$或$m>\frac{{\sqrt{3}}}{2}$.
点评 本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法,考查存在性问题的处理方法,考查转化思想以及计算能力.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $({0,\frac{{2-\sqrt{2}}}{2}})$ | B. | $({2-\sqrt{2},1})$ | C. | $({1,2+\sqrt{2}}]$ | D. | $({-∞,2+\sqrt{2}}]$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 12 | B. | 10 | C. | 8 | D. | 2 |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $-\sqrt{3}$ | B. | $\sqrt{3}$ | C. | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | D. | $-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | asinθ<bsinθ | B. | absinθ<basinθ | ||
C. | alogbsinθ<blogasinθ | D. | logasinθ<logbsinθ |
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