Question

（本小题满分12分）
如图椭圆：的两个焦点为、和顶点、构成面积为32的正方形.

（1）求此时椭圆的方程；
（2）设斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点、、为的中点，且. 问：、两点能否关于直线对称. 若能，求出的取值范围；若不能，请说明理由.

Answer 1

(1) . (2) 当时，、两点关于过点、的直线对称.

试题分析：由已知可得且，所以.
所求椭圆方程为.
②设直线的方程为，代入，
得.
由直线与椭圆相交于不同的两点知，
.   ②
要使、两点关于过点、的直线对称，必须.
设、，则，.
，，
解得.  ③
由②、③得，，
，.  或.
故当时，、两点关于过点、的直线对称.
点评：解决该试题关键是对于椭圆方程的求解，要运用其性质来得到关于a,b,c的关系式来得到结论，而对于直线与椭圆的位置关系的考查，要联立方程组，结合韦达定理和判别式来期间诶得到范围，属于中档题。