Question

14、已知m，n∈Z，关于x的方程2^|2-x|+m+2=0有唯一的实数解，且函数f（x）=log₂（8-|x|）的定义域是[m，n]，值域[0，3]，那么m+n=

4

．

Answer 1

分析：由已知中关于x的方程2^|2-x|+m+2=0有唯一的实数解，结合绝对值的性质及对数的运算性质，我们易解出m的值，然后再根据函数f（x）=log₂（8-|x|）的定义域是[m，n]，值域[0，3]，可以求出满足条件的n的值，进而得到m+n的值．

解答：解：若关于x的方程2^|2-x|+m+2=0有唯一的实数解
则函数y=2^|2-x|+2与y=-m，有且只有一个交点，
∵y=2^|2-x|+2≥3
∴m=-3
又由f（x）=log₂（8-|x|）的定义域是[m，n]，值域[0，3]，
则n=7
则m+n=4
故答案为：4

点评：本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，对数函数的值域与最值，其中根据对数函数，指数函数的性质及绝对值的性质求出满足条件的m，n的值，是解答本题的关键．