Question

16．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，0）、B（1，0）、C（0，-1），N为y轴上的点，MN垂直于y轴，且点M满足$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{ON}•\overrightarrow{CM}$（O为坐标原点），点M的轨迹为曲线T．
（Ⅰ）求曲线T的方程；
（Ⅱ）设点P（P不在y轴上）是曲线T上任意一点，曲线T在点P处的切线l与直线$y=-\frac{5}{4}$交于点Q，试探究以PQ为直径的圆是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设点M（x，y），依题意知N（0，y），利用$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{ON}•\overrightarrow{CM}$得x²-1+y²=y（y+1），即可求曲线T的方程；
（Ⅱ）求出点Q的坐标为$（\frac{4x_0^2-1}{{8{x_0}}}，-\frac{5}{4}）$，假设以PQ为直径的圆恒过定点H，则根据对称性，点H必在y轴上，设H（0，t），则由$\overrightarrow{PH}•\overrightarrow{QH}=0$得结论．

解答 解：（Ⅰ）设点M（x，y），依题意知N（0，y），
∵$\overrightarrow{AM}=（x+1，y），\overrightarrow{BM}=（x-1，y），\overrightarrow{ON}=（0，y），\overrightarrow{CM}=（x，y+1）$，---------------------------（2分）
由$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{ON}•\overrightarrow{CM}$得x²-1+y²=y（y+1），即y=x²-1，
∴所求曲线T的方程为y=x²-1-------------------（4分）
（Ⅱ）设P（x₀，y₀）（x₀≠0），由y=x²-1，得y'=2x
则${k_l}=y'{|_{x={x_0}}}=2{x_0}$------------------------------------------------------------------------------------------（5分）
∴直线l的方程为：y-y₀=2x₀（x-x₀）
令$y=-\frac{5}{4}$得$x=\frac{4x_0^2-1}{{8{x_0}}}$，即点Q的坐标为$（\frac{4x_0^2-1}{{8{x_0}}}，-\frac{5}{4}）$------------------------------------------（6分）
假设以PQ为直径的圆恒过定点H，则根据对称性，点H必在y轴上，设H（0，t），
则由$\overrightarrow{PH}•\overrightarrow{QH}=0$得${x_0}•\frac{4x_0^2-1}{{8{x_0}}}+（t-{y_0}）（t+\frac{5}{4}）=0$------①--------------------------------------（8分）$\frac{1}{2}{y_0}+\frac{3}{8}+t（t+\frac{5}{4}）-{y_0}（t+\frac{5}{4}）=0$，$（t+\frac{3}{4}）（t+\frac{1}{2}-{y_0}）=0$，
∴$t=-\frac{3}{4}$，即以PQ为直径的圆恒过定点，该点的坐标为$（0，-\frac{3}{4}）$--------------------------（12分）】

点评 本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．