Question

（A题）如图，在椭圆+=1（a＞0）中，F₁，F₂分别是椭圆的左右焦点，B，D分别为椭圆的左右顶点，A为椭圆在第一象限内弧上的任意一点，直线AF₁交y轴于点E，且点F₁，F₂三等分线段BD．
（1）若四边形EBCF₂为平行四边形，求点C的坐标；
（2）设m=，n=，求m+n的取值范围．

Answer 1

解：（1）因为F₁，F₂三等分线段BD，所以|F₁F₂|=|BD|，即2c=，所以a=3c①，
又a²=b²+c²②，b²=8③，联立①②③解得a=3，c=1，
所以B（-3，0），F₁（-1，0），F₁为BF₂的中点，
因为四边形EBCF₂为平行四边形，所以C，E关于F₁（-1，0）对称，
设C（x₀，y₀），则E（-2-x₀，-y₀），
因为E在y轴上，所以-2-x₀=0，解得x₀=-2，
又因为点C（x₀，y₀）在椭圆上，所以，
又x₀=-2，所以，解得y₀=±，依题意，
因此点C的坐标为（-2，-）；
（2）依题意直线AC的斜率存在，所以可设直线AC：y=k（x+1），A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由，得（8+9k²）x²+18k²x+9（k²-8）=0，，，
所以m======，其中h为点O到AE的距离，
n=======，
m+n=+==，
=2+=2+=2+=2-=-．
因为点A在第一象限，所以0＜k＜2，即0＜k²＜8，
令t=-，则，所以0＜8-＜8，即0＜＜，解得t＞2，
故m+n的取值范围是t＞2．
分析：（1）由F₁，F₂三等分线段BD，得|F₁F₂|=|BD|，即2c=①，又a²=b²+c²②，b²=8③，联立方程组即可求得a，c值，从而可得F₁坐标为（-1，0），由四边形EBCF₂为平行四边形及F₁为BF₂的中点，知F₁为CE中点，即C、E关于点F₁对称，设C（x₀，y₀），则E（-2-x₀，-y₀），根据C在椭圆上及E在y轴上可得关于x₀的方程组，由此可求得C点坐标；
（2）易知直线AC存在斜率，设直线AC：y=k（x+1），A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由，得（8+9k²）x²+18k²x+9（k²-8）=0，，，
则m+n=+=+=+，利用弦长公式及韦达定理可把m+n表示为关于k的函数，由点A在第一象限可求得k的取值范围，根据k的范围即可求得m+n的取值范围；
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查函数思想，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，解决（2）问的关键是把m+n表示为关于直线AC斜率k的函数，体现函数思想．