Question

19．已知α是第二象限角，且$sinα=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，
（Ⅰ）求cos2α的值；
（Ⅱ）求$sin（α+\frac{π}{6}）$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用二倍角的余弦公式求得cos2α的值．
（Ⅱ）利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，再利用两角和的正弦公式求得$sin（α+\frac{π}{6}）$的值．

解答 （Ⅰ）因为α是第二象限角，$sinα=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，
所以，$cos2α=1-2{sin^2}α=1-2×\frac{15}{16}=-\frac{7}{8}$．
（Ⅱ）又α是第二象限角，故$cosα=-\sqrt{1-\frac{15}{16}}=-\frac{1}{4}$．
所以$sin（α+\frac{π}{6}）=\frac{{\sqrt{15}}}{4}\frac{{\sqrt{3}}}{2}+（-\frac{1}{4}）\frac{1}{2}=\frac{{3\sqrt{5}-1}}{8}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式、两角和的三角公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．