Question

28、（1）一次函数f（x）=kx+h（k≠0），若m＜n有f（m）＞0，f（n）＞0，则对于任意x∈（m，n）都有f（x）＞0，试证明之；
（2）试用上面结论证明下面的命题：若a，b，c∈R且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，则ab+bc+ca＞-1．

Answer 1

分析：（1）实质上是要证明，一次函数f（x）=kx+h（k≠0），x∈（m，n）．若区间两个端点的函数值均为正，则对于任意x∈（m，n）都有f（x）＞0．之所以具有上述性质是由于一次函数是单调的．因此本问题的证明要从函数单调性入手．
（2）在（1）的结论下，构造函数f（x）=（b+c）x+bc+1．然后对b+c进行分析，分情况进行讨论，最后综合两种情况证明ab+bc+ca＞-1．

解答：解：（1）证明：
当k＞0时，函数f（x）=kx+h在x∈R上是增函数，
m＜x＜n，f（x）＞f（m）＞0；
当k＜0时，函数f（x）=kx+h在x∈R上是减函数，
m＜x＜n，f（x）＞f（n）＞0．
所以对于任意x∈（m，n）
都有f（x）＞0成立．
（2）将ab+bc+ca+1写成（b+c）a+bc+1
，构造函数f（x）=（b+c）x+bc+1．
则f（a）=（b+c）a+bc+1．
当b+c=0时，即b=-c，
f（a）=bc+1=-c²+1．
因为|c|＜1，
所以f（a）=-c²+1＞0．
当b+c≠0时，
f（x）=（b+c）x+bc+1为x的一次函数．
因为|b|＜1，|c|＜1，
f（1）=b+c+bc+1=（1+b）（1+c）＞0，
f（-1）=-b-c+bc+1=（1-b）（1-c）＞0．
由问题（1）对于|a|＜1的一切值f（a）＞0，
即（b+c）a+bc+1=ab+ac+bc+1＞0．

点评：本题为不等式的证明，通过对一次函数单调性的考查，分别证明f（x）＞0成立．然后在（1）的条件下加入一些条件继续证明．本题考查对函数性质的灵活掌握和运用，以及对函数单调性的熟练运用．