Question

【题目】已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0时，有 ＞0成立．
（Ⅰ）判断f（x）在[﹣1，1]上的单调性，并证明；
（Ⅱ）解不等式：f（2x﹣1）＜f（1﹣3x）；
（Ⅲ）若f（x）≤m2﹣2am+1对所有的a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）任取x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，则﹣x2∈[﹣1，1]，∵f（x）为奇函数，

∴f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）= （x1﹣x2），

由已知得 ＞0，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．

∴f（x）在[﹣1，1]上单调递增．

（Ⅱ）∵f（x）在[﹣1，1]上单调递增，∴

∴不等式的解集为 ．

（Ⅲ）∵f（1）=1，f（x）在[﹣1，1]上单调递增．∴在[﹣1，1]上，f（x）≤1．

问题转化为m2﹣2am+1≥1，即m2﹣2am≥0，对a∈[﹣1，1]恒成立．

下面来求m的取值范围．设g（a）=﹣2ma+m2≥0．

①若m=0，则g（a）=0≥0，对a∈[﹣1，1]恒成立．

②若m≠0，则g（a）为a的一次函数，若g（a）≥0，对a∈[﹣1，1]恒成立，

必须g（﹣1）≥0且g（1）≥0，∴m≤﹣2或m≥2．

综上，m=0 或m≤﹣2或m≥2

【解析】1、由题意可得，根据证明函数单调性的定义。任取x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，判断f（x1）﹣f（x2）的正负即得结果。
2、由题意可得f（x）在[﹣1，1]上单调递增，f（2x﹣1）＜f（1﹣3x）可得， 2x-1, 1-3x[﹣1，1], 2x-1>1-3x。求以上不等式的交集。
3、由（2）可知函数f（x）单调递增即有f(x)f(1)=1故f(x)可表示为，对a∈[﹣1，1]恒成立。令g（a）=﹣2ma+m2 ， 若m=0，则g（a）=0对a∈[﹣1，1]恒成立；若m≠0，则g（a）为a的一次函数，根据函数在定义域[﹣1，1]上的最小值大于0，可求得m的取值范围。