【题目】已知函数().
(1)若函数有零点,求实数的取值范围;
(2)若对任意的,都有成立,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析:(1)题意等价于关于的方程有正根,设,根据二次函数的性质,对二次项系数进行讨论,分为,和三种情形进行讨论;(2)原题意等价于,分为和时,结合二次函数的性质求结果.
试题解析:(1)由函数有零点得:关于的方程()有解
令,则于是有,关于的方程有正根
设,则函数的图象恒过点且对称轴为
当时,的图象开口向下,故恰有一正数解
当时,,不合题意
当时,的图象开口向上,故有正数解的条件是
解得:
综上可知,实数的取值范围为.
(2)“对任意都有”即,②
∵,故②变形为:③
又当时,恒有,
故当时,,故不等式③恒成立
当时, ,当且仅当时取等号
∴,解得,综上可知,实数的取值范围.
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【题目】一个盒子中装有5张编号依次为1、2、3、4、5的卡片,这5 张卡片除号码外完全相同.现进行有放回的连续抽取2 次,每次任意地取出一张卡片.
(1)求出所有可能结果数,并列出所有可能结果;
(2)求事件“取出卡片号码之和不小于7 或小于5”的概率.
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【题目】已知点是椭圆上任一点,点到直线的距离为,到点的距离为,且.直线与椭圆交于不同两点(都在轴上方),且.
(1)求椭圆的方程;
(2)当为椭圆与轴正半轴的交点时,求直线方程;
(3)对于动直线,是否存在一个定点,无论如何变化,直线总经过此定点?若存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知数列和满足:, ,,其中.
(1)求数列和的通项公式;
(2)记数列的前项和为,问是否存在正整数,使得成立?若存在,求的最小值;若不存在,请说明理由.
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【题目】我国古代数学名著《续古摘奇算法》(杨辉)一书中有关于三阶幻方的问题:将1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填入的方格中,使得每一行,每一列及对角线上的三个数的和都相等,我们规定:只要两个幻方的对应位置(如每行第一列的方格)中的数字不全相同,就称为不同的幻方,那么所有不同的三阶幻方的个数是( )
8 | 3 | 4 |
1 | 5 | 9 |
6 | 7 | 2 |
A. 9 B. 8 C. 6 D. 4
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【题目】已知各项都是正数的数列的前项和为,,
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列满足:,,数列的前项和,求证:;
(3)若对任意恒成立,求的取值范围.
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