Question

已知函数f（x）的定义域是R，若f（x）是奇函数，0≤x＜1时，f（x）=

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x，且满足f（x+2）=f（x）．
（1）写出f（x）的周期．
（2）求-1≤x≤0时，f（x）的解析式．
（3）求1＜x＜3时，f（x）的解析式．
（4）求使f（x）=-

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成立所有x．

Answer 1

分析：（1）直接由f（x+2）=f（x）即可求出周期；
（2）设-1≤x≤0根据奇函数的性质即可得，f（x）=

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x．
（3）设1＜x＜3，可得-1＜x-2＜1，根据其周期性即可求出结论．
（4）数形结合，由于函数f（x）的值域为（-

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，

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），满足f（x）=-

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成立所有x．

解答：解：（1）由f（x+2）=f（x）可得，周期T=2．
（2）设-1＜x≤0，则0≤-x＜1．由于0≤x＜1时，f（x）=

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x，
∴f（-x）=

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×（-x）=-

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x=-f（x），故有f（x）=

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x．
当x=-1时，由奇函数的定义可得f（-1）+f（1）=0，再由函数的周期等于2，可得f（-1）=f（1）=0，
故有-1≤x≤0时，f（x）=

1 2 x ，   -1＜x≤0 0 ，    x=-1

．
（3）由（2）可得，-1＜x＜1时，f（x）=

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x．
设1＜x＜3，可得-1＜x-2＜1，故 f（x-2）=

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（x-2）=f（x），∴f（x）=

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（x-2）．
（4）如图所示：由于函数f（x）的值域为（-

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，

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），故满足f（x）=-

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成立所有x不存在．

点评：本题主要考查函数的奇偶性和周期性的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．