Question

【题目】已知点A（0，﹣2），椭圆E： + =1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为 ，O是坐标原点．
（1）求E的方程；
（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：设F（c，0），由条件知 ，得 ，又 ，

∴a=2，b2=a2﹣c2=1，

故E的方程为：

（2）解：当l⊥x轴时，不合题意，

故设l：y=kx﹣2，p（x1，y1），Q（x2，y2），

联立 ，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0．

当△=16（4k2﹣3）＞0，即 时，

， ．

从而 ．

又点O到直线PQ的距离 ．

∴△OPQ的面积为 ，

设 ，

则 ，当且仅当 ，即t=2时取“=”．

∴ ，即 时等号成立，且满足△＞0，

∴当△OPQ的面积最大时，l的方程为 或

【解析】（1）设F（c，0），由已知得 ，求得c，再由离心率求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）由题意可知，当l⊥x轴时，不合题意，设l：y=kx﹣2，联立直线方程与椭圆方程，求出P、Q的横坐标，代入弦长公式求得|PQ|，再由点到直线的距离公式求得O到PQ的距离，代入三角形面积公式，换元后利用基本不等式求最值，同时求得当△OPQ的面积最大时直线l的方程．