Question

对定义域分别是D_f、D_g的函数y=f（x），y=g（x），规定：函数h（x）=

f(x)•g(x)    当x∈Df且x∈Dg 1      当x∈Df且x∉Dg -1   当x∉Df且x∈Dg

．
（1）若f（α）=sinα•cosα，g（α）=cscα，写出h（α）的解析式；
（2）写出问题（1）中h（α）的取值范围；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R的函数y=f（x），及一个α的值，使得h（x）=cos4x，并予以证明．

Answer 1

（1）根据题意得：h（α）=

cosα   (α≠kπ，k∈Z) 1  (α=kπ，k∈Z)

；
（2）h（α）的取值范围是（-1，1]；
（3）令f（x）=sin2x+cos2x，α=

π

4

，
g（x）=f（x+α）=sin2（x+

π

4

）+cos2（x+

π

4

）=cos2x-sin2x，
则h（x）=f（x）f（x+α）=（sin2x+cos2x）（cos2x-sin2x）=cos4x．