Question

（本小题满分14分）

如图，ADB为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。

   （I）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

   （II）过点B的直线l与曲线C交于M、N两点，与OD所在直线交于E点，

        为定值。

Answer 1

解：（Ⅰ）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴， O为原点，建立平面直角坐标系，∵动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变．且点Q在曲线C上,

∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4．

∴曲线C是为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆．

设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,∴a=,c=2,b=1．

∴曲线C的方程为+y²=1      6分

（Ⅱ）证法1：设点的坐标分别为，

易知点的坐标为．且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交．

 ∵，∴．

∴ ，．       10分

将M点坐标代入到椭圆方程中得：，

去分母整理，得．  11分

同理，由可得：

．    12分

∴ ，是方程的两个根，

∴ ．   14分

（Ⅱ）证法2：设点的坐标分别为，

易知点的坐标为．且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交．

显然直线  的斜率存在，设直线 的斜率为 ，则直线  的方程是 ．

将直线  的方程代入到椭圆  的方程中，消去  并整理得

．   10分

∴ ，．   11分

又 ∵， 则．∴，

同理，由，

∴． 12分

∴．       14分