Question

7．数列{a_n}的前n项的和为S_n，求证：“S_n=an²+bn，a，b∈R”是“数列{a_n}为等差数列”的充要条件．

Answer 1

分析 由等差数列的求和公式和通项公式，分别证明必要性和充分性即可．

解答 证：充分性：当n=1时，a₁=a+b；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2an+b-a，
显然当n=1时也满足上式，
∴a_n-a_n-1=2a
∴{a_n}是等差数列．
必要性：∵数列{a_n}为等差数列，
∴S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d=$\frac{d}{2}$n²+（a₁-$\frac{d}{2}$）n，
令a=$\frac{d}{2}$，b=a₁-$\frac{d}{2}$，则S_n=an²+bn，a，b∈R．
综上，“S_n=an²+bn，a，b∈R”是“数列{a_n}为等差数列”的充要条件．

点评 本题考查充要条件的证明，考查等差数列的定义与求和，属基础题．