Question

（2006•嘉定区二模）已知函数f（x）=|1-

1

x

|，x∈（0，+∞）．
（1）作出函数y=f（x）的大致图象并根据图象写出函数f（x）的单调区间；
（2）证明：当0＜a＜b且f（a）=f（b）时，ab＞1；
（3）若存在实数a，b（0＜a＜b），使得函数y=f（x）在x∈[a，b]上的函数的值域为[ma，mb]（m≠0），求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）函数的图象由y=

1

x

（x∈（0，+∞））的图象先做一次关于x轴的对称变换，再向上平移一个单位，再做一次纵向的对折变换得到，由此可得函数y=f（x）的大致图象，进而根据图象下降对应函数的单调递减区间，图象上升对应函数的单调递增区间得到答案
（2）0＜a＜b，f（a）=f（b），及函数的单调性知，0＜a＜1，b＞1，结合函数的解析式及基本不等式可得ab＞1；
（3）分当a∈（0，1），b∈（1，+∞）时，当a，b∈（0，1）时，和当a，b∈（1，+∞）时，三种情况分别讨论m的取值范围，最后综合讨论结果可得答案．

解答：解：（1）图象如图所示．…（3分）

单调递减区间：（0，1]；…（4分）
单调递增区间：[1，+∞）…（5分）
证明：（2）由0＜a＜b，f（a）=f（b）
及函数的单调性知，0＜a＜1，b＞1，…（7分）
∴f(a)=|1-

1

a

|=

1

a

-1，f(b)=|1-

1

b

|=1-

1

b

，由

1

a

-1=1-

1

b

得

1

a

+

1

b

=2，
∴2=

1

a

+

1

b

=

a+b

ab

≥

2 ab

ab

=

2

ab

，∴

ab

≥1，即ab≥1…（10分）

解：（3）当a∈（0，1），b∈（1，+∞）时，1∈[a，b]，而f（1）=0∉[ma，mb]，矛盾．
∴a，b∈（0，1）或a，b∈（1，+∞）…（12分）
当a，b∈（0，1）时，由f（x）是减函数知，f（a）=mb，f（b）=ma，
即

1

a

-1=mb，

1

b

-1=ma，得a=b，舍去．…（14分）
当a，b∈（1，+∞）时，由f（x）是增函数知，f（a）=ma，f（b）=mb，
即1-

1

a

=ma，1-

1

b

=mb，∴a，b是方程mx²-x+1=0的两个不相等实根，且这
两根均大于1．
∴△=1-4m＞0且m-1+1＞0，

1

2m

＞1，解得0＜m＜

1

4

…（17分）
∴实数m的取值范围是(0，

1

4

)…（18分）

点评：本题考查的知识点是函数图象的变换，函数的单调区间，函数值的比较，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．