Question

已知函数f（x）=ln（a^x-b^x）（a＞1＞b＞0，k∈N₊），其定义域为（0，+∞），f（x）＞0的解集为（1，+∞），且f（3）=ln4，
（1）求k的值；
（2）求a，b的值．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）把函数的定义域为（0，+∞）转化为k＜(

a

b

)x对于x∈（0，+∞）恒成立，求出k的范围后结合k∈N₊求得k的值；
（2）由f（x）＞0的解集为（1，+∞）得到a-b=1，结合f（3）=ln4联立方程组求得a，b的值．

解答： 解：（1）由a^x-b^x＞0，得k＜(

a

b

)x对于x∈（0，+∞）恒成立，
∵a＞1＞b＞0，
∴当x∈（0，+∞）时(

a

b

)x＞1，则k≤1．
∵k∈N₊，
∴k=1；
（2）由f（x）＞0的解集为（1，+∞），得
ln（a-b）=0，即a-b=1  ①，
又f（3）=ln4，
∴ln（a³-b³）=ln4，a³-b³=4  ②，
联立①②解得：a=

5 +1

2

，b=

5 -1

2

．

点评：本题考查了指数不等式和对数不等式的解法，考查了数学转化思想方法，是中档题．