Question

已知函数f(x)=mx-2lnx-

m

x

(m∈R)
（1）若f'（1）=2，求m的值；
（2）若函数y=f（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出原函数的导函数直接由f'（1）=2列式求m的值；
（2）求出原函数的导函数，由函数y=f（x）在[1，+∞）上为单调函数，得其导函数[1，+∞）上大于等于0或小于等于0恒成立，然后利用基本不等式求解m的取值范围．

解答：解：（1）f′(x)=

mx2-2x+m

x2

，由已知，f'（1）=m-2+m=2，
所以m=2；
（2）若函数y=f（x）在[1，+∞）上为单调函数，则在[1，+∞）上
有f′(x)=

mx2-2x+m

x2

≥0恒成立，或f′(x)=

mx2-2x+m

x2

≤0恒成立
即m≥

2x

x2+1

，或m≤

2x

x2+1

对x∈[1，+∞）恒成立，
因为

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

，
而当x∈[1，+∞）时，x+

1

x

∈[2，+∞），故

2x

x2+1

∈(0，1]，
所以m≥1或m≤0．
即m的取值范围是m≥1或m≤0．

点评：本题考查了函数的单调性和导数的关系，训练了利用基本不等式求函数的最值，考查了分离变量法，是中档题．