Question

某小区现有住房的面积为。平方米，在改造过程中政府决定每年拆除b平方米旧住房，同时按当年住房面积的10％建设新住房，则n年后该小区的住房面积为

A.a·1.1ⁿ-nb                                  B.a·1.1ⁿ-10b(1.1ⁿ-1)

C.n(1.1a-1)                                   D.1.1ⁿ(a-b)

Answer 1

答案：B

【解析】特殊值法验证，取n=1分不清，n=2时，按实际意义a_n+1=a_n·1.1-b，a₁=a·1.1-b，

则a₂=a·1.1²-1.1b-b，对选择支验证，只有B满足，选B.

直接求解法，不完全归纳法，由a_n+1=a_n·1.1-b，a₀=a，a₁=a·1.1-b，则a₂=a·1.1²-1.1b-b，

a₃=a·1.1³-1.1²b-1.1b-b=a·1.1³-b(1+1.1+1.1²)，…，a_n=1.1ⁿa-b(1+1.1+1.1²+…+1.1ⁿ)

=1.1ⁿa-b×=1.1ⁿa-10(1.1ⁿ-1)b；

迭代法a_n=a_n-1·1.1-b=1.1(a_n-2·1.1-b)-b=1.1²a_n-1-b(1+1.1)=1.1³a_n-3-b(1+1.1+1.1²)…

=1.1ⁿa-b(1+1.1+1.1²+…+1.1^n-1)

=1.1ⁿa-b×=1.1ⁿa-10(1.1ⁿ-1)b

化归辅助数列为等比数列，采用待定系数法，由a_n+1=a_n·1.1-b，若a_n+1+m=(a_n+m)·1.1，则m=-10b，∴{a_n-10b}是首项为a-10b，公比为1.1的等比数列的第n+1项，则a_n-10b=(a-10b)×1.1ⁿ，∴a_n=1.1ⁿa-10b(1.1ⁿ-1)为所求.