Question

14．要使直线2x-y+5m²=0与直线x+2y-10m=0的交点到直线l：3x-4y-20=0的距离最小，实数m应取何值？这个最小距离是多少？

Answer 1

分析 由直线2x-y+5m²=0与直线x+2y-10m=0，解得交点的坐标，由点到直线的距离公式求出交点到直线l：3x-4y-20=0的距离d，则d是参数m的函数，利用配方法求最值．

解答 解：直线2x-y+5m²=0与直线x+2y-10m=0，解得x=2m-2m²，y=4m+m²．
设两直线交点到直线4x-3y-12=0的距离为d，
则d=$\frac{|6m-6{m}^{2}-16m-4{m}^{2}-20|}{5}$=$\frac{|10（m+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{35}{2}|}{5}$
∴当m=-$\frac{1}{2}$时，距离d有最小值为：$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查方程思想，考查了点到直线的距离公式，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．