Question

7．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，5a₄+4a₅=-22，S₆=2a₄-5
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}={2^{{a_n}-2}}-n$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式列出方程，解出a₁，d，解出即可得出．
（2）${b_n}={2^{{a_n}-2}}-n$=$（\frac{1}{2}）^{n}$-n，再利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵5a₄+4a₅=-22，S₆=2a₄-5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5（{a}_{1}+3d）+4（{a}_{1}+4d）=-22}\\{6{a}_{1}+\frac{6×5}{2}d=2（{a}_{1}+3d）-5}\end{array}\right.$，解得a₁=1，d=-1．
∴a_n=1-（n-1）=2-n．
（2）${b_n}={2^{{a_n}-2}}-n$=$（\frac{1}{2}）^{n}$-n，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n（n+1）}{2}$=$1-\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．