Question

【题目】如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．

（1）证明B1C1⊥CE；
（2）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．
（3）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为 ，求线段AM的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图，

依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）．

则 ，

而 =0．

所以B1C1⊥CE；

（2）解： ，

设平面B1CE的法向量为 ，

则 ，即 ，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2．

所以 ．

由（1）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，所以B1C1⊥平面CEC1，

故 为平面CEC1的一个法向量，

于是 = ．

从而 = = ．

所以二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值为 ．

（3）解： ，

设 0≤λ≤1，

有 ．

取 为平面ADD1A1的一个法向量，

设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，

则 =

= ．

于是 ．

解得 ．所以 ．

所以线段AM的长为 ．

【解析】（1）由题意可知，AD，AB，AA1两两互相垂直，以a为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出 和 ，由 得到B1C1⊥CE；（2）求出平面B1CE和平面CEC1的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利用同角三角函数基本关系求出其正弦值，则二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值可求；（3）利用共线向量基本定理把M的坐标用E和C1的坐标及待求系数λ表示，求出平面ADD1A1的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值，代入 求出λ的值，则线段AM的长可求．