Question

已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，且f（-6）=-2，当x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂时，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，则给出下列命题：
①f（2010）=-2；
②函数y=f（x）图象的一条对称轴为直线x=-6；
③函数y=f（x）在[-9，-6]上为减函数；
④函数f（x）在[-9，9]上有4个零点，上述命题中的所有正确命题的序号是

 

．（把你认为正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析：①对于条件：“x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立”，令x=-3，再结合函数为偶函数可得f（-3）=f（3）=0，代入已知条件可得函数的周期为6，从而得到f（2010）=-2；
②欲证“直线x=6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴”，即证f（6+x）=f（6-x）；
③当x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂时，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，说明函数在区间上是增函数，再用周期性的奇偶性可得结论正确；
④由①的结论可知在区间[-9，9]上f（-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0，再结合单调函数根的分布可得结论正确．

解答：解：对于①，先令x=-3，即有f（3）=f（-3）+f（3），f（-3）=0，
再依据函数y=f（x）是R上的偶函数，有f（-3）=f（3），得f（3）=0，
这样f（x+6）=f（x）+f（3）=f（x）函数f（x）的周期就是6，
因此f（2010）=f（335×6）=f（0）=f（-6）=-2；
对于②，∵f（x+6）=f（x）+f（3），
又∵f（-x+6）=f（-x）+f（3），且f（-x）=f（x）
∴f（6+x）=f（6-x）
∴直线x=6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，故②对；
对于③，首先根据：当x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂时，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
说明函数在区间[0，3]上是增函数，再结合函数的周期为6，
将区间[0，3]右移6个单位，可得函数在[6，9]上为增函数
又∵函数为偶函数，在关于原点对称的区间上单调性相反
∴函数y=f（x）在[-9，-6]上为减函数，可得③正确；
对于④，根据①的结论，f（-3）=f（3）=0，再结合函数周期为6
得f（-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0，
再根据在某个区间上的单调函数在这个区间内至多有一个零点，
得函数f（x）在[-9，9]上只有以上4个零点，所以④正确．
故答案为①②③④．

点评：抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的规律性．结合赋值法和准确把握对应法则及函数的相应的性质，是解决本题的关键．