【题目】已知等差数列{an}和等比数列{bn},其中{an}的公差不为0.设Sn是数列{an}的前n项和.若a1 , a2 , a5是数列{bn}的前3项,且S4=16.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)若数列{ }为等差数列,求实数t;
(3)构造数列a1 , b1 , a2 , b1 , b2 , a3 , b1 , b2 , b3 , …,ak , b1 , b2 , …,bk , …,若该数列前n项和Tn=1821,求n的值.
【答案】
(1)解:设{an}的公差d≠0.∵a1,a2,a5是数列{bn}的前3项,且S4=16.
∴ ,即 ,4a1+ =16,
解得a1=1,d=2,
∴an=1+(n﹣1)×2=2n﹣1.
∴b1=1,b2=3,公比q=3.
∴bn=3n﹣1
(2)解:Sn= =n2.∴ = .
∵数列{ }为等差数列,
∴ = + ,t2﹣2t=0.
解得t=2或0,经过验证满足题意
(3)解:由(1)可得:Sn=n2,数列{bn}的前n项和An= = .数列{An}的前n项和Un= ﹣ n= ﹣ n.
数列a1,b1,a2,b1,b2,a3,b1,b2,b3,…,ak,b1,b2,…,bk,…,
∴该数列前k+ = 项和=k2+ ﹣ (k﹣1),
∵37=2187,38=6561.
∴取k=8,可得前 =36项的和为: =1700,
令Tn=1821=1700+ ,解得m=5.
∴n=36+5=41
【解析】(1)设{an}的公差d≠0.由a1 , a2 , a5是数列{bn}的前3项,且S4=16.可得 ,即 ,4a1+ =16,解得a1 , d,即可得出.(2)Sn= =n2 . 可得 = .根据数列{ }为等差数列,可得 = + ,t2﹣2t=0. 解得t.(3)由(1)可得:Sn=n2 , 数列{bn}的前n项和An= = .数列{An}的前n项和Un= ﹣ n= ﹣ n.数列a1 , b1 , a2 , b1 , b2 , a3 , b1 , b2 , b3 , …,ak , b1 , b2 , …,bk , …,可得:该数列前k+ = 项和=k2+ ﹣ (k﹣1),根据37=2187,38=6561.进而得出.
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【题目】已知如图:平行四边形ABCD中,BC=6,正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直,G,H分别是DF,BE的中点.
(1)求证:GH∥平面CDE;
(2)若CD=2,DB=4 ,求四棱锥F﹣ABCD的体积.
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【题目】已知函数f(x)=aln x+ (a>0).
(1)求函数f(x)的极值;
(2)若对任意的x>0,恒有ax(2-ln x)≤1,求实数a的取值范围;
(3)是否存在实数a,使得函数f(x)在[1,e]上的最小值为0?若存在,试求出a的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知三角形的顶点分别为A(﹣1,3),B(3,2),C(1,0)
(1)求BC边上高的长度;
(2)若直线l过点C,且在l上不存在到A,B两点的距离相等的点,求直线l的方程.
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【题目】某学校为了解学校食堂的服务情况,随机调查了50名就餐的教师和学生.根据这50名师生对餐厅服务质量进行评分,绘制出了频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组为[40,50),[50,60),…,[90,100].
(1)求频率分布直方图中a的值;
(2)从评分在[40,60)的师生中,随机抽取2人,求此人中恰好有1人评分在[40,50)上的概率;
(3)学校规定:师生对食堂服务质量的评分不得低于75分,否则将进行内部整顿,试用组中数据估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分,并据此回答食堂是否需要进行内部整顿.
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【题目】某市的教育主管部门对所管辖的学校进行年终督导评估,为了解某学校师生对学校教学管理的满意度,分别从教师和不同年级的同学中随机抽取若干师生,进行评分(满分100分),绘制如下频率分布直方图(分组区间为, , , , , ),并将分数从低到高分为四个等级:
满意度评分 | ||||
满意度等级 | 不满意 | 基本满意 | 满意 | 非常满意 |
已知满意度等级为基本满意的有340人.
(1)求表中的值及不满意的人数;
(2)在等级为不满意的师生中,老师占,现从该等级师生中按分层抽样抽取12人了解不满意的原因,并从中抽取3人担任整改督导员,记为老师整改督导员的人数,求的分布列及数学期望.
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