Question

【题目】11个兴趣班，若干学生参与（可重复参与），每个兴趣班人数相同（招满，人数未知）.已知任意九个兴趣班包括了全体学生，而任意八个兴趣班没有包括全体学生求学生总人数的最小值.

Answer 1

【答案】165

【解析】

设11个兴趣班的学生组成的集合为.

由题意，知.

设.

由题设，知任意九个集合的并为，任意八个集合的并是的真子集.

构造一个表格，若学生，则在第行第列的格子中填1，否则填0.

由条件，知任取其中八个集合的并不是，即任取八列必有一行与其的交叉的格子均为0，称这种至少含八个“0”的行为“零行”.

再由条件任取九个集合的并是，则任意两个零行不是同一行.

于是，构成每8列到一行的单射，

故.

另一方面，每行填3个0，任两行填的0的列不全相同，共种填法，而，故恰每行填一种方法.此时，恰满足题目.

综上，学生总人数最小值为人.