Question

 

    己知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为．

   （Ⅰ）求C的离心率；

   （Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．

 

 

Answer 1

【答案】

 

【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质，考查直线与圆的关系，既考查考生的基础知识掌握情况，又可以考查综合推理的能力.

【参考答案】

   （I）由题设知，的方程为

代入C的方程，并化简得，

设

则①

由为B D的中点知故

即     ②

故

所以C的离心率

   （II）由①、②知，C的方程为：

A（a，0），F（2a，0），

故不妨设

           

又

故

解得（舍去）

故

连结MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，从而

MA=MB=MD，且MA⊥x轴，因此以M为圆主，MA

为半径的圆经地A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，

所以过A、B、D三点的圆与x轴相切。     

【点评】高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目，命题者将好多考点以圆锥曲线为背景来考查，如向量问题、三角形问题、函数问题等等，试题的难度相对比较稳定.