【题目】已知函数,.
(Ⅰ)讨论函数在上的单调性;
(Ⅱ)判断当时,与的图象公切线的条数,并说明理由.
【答案】(Ⅰ)当时,函数在上单调递减;
当时,在上单调递减,在上单调递增;(Ⅱ)两条,理由见解析.
【解析】
(Ⅰ)对函数进行求导,然后分类讨论,根据导函数的正负性求出函数的单调区间;
(Ⅱ)利用导数的几何意义求出与的图象的切线,将两个切线方程联立,消元得到一个方程,根据方程解的个数就能确定公切线的条数,构造新函数,利用新函数的导数,结合零点存在原理进行求解即可.
(I),
当时,,所以函数在上单调递减;
当时,由得:;由得:
所以,函数在上单调递减,函数在上单调递增.
(Ⅱ)函数在点处的切线方程为,
即,
函数在点处的切线方程为,即.
若与的图象有公切线.
则
由①得代入②整理得
③
由题意只须判断关于的方程在上解的个数
令
令,解得
0 | |||
单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
且图象在上连续不断
方程在及上各有一个根
即与的图象有两条公切线.
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【题目】某村共有100户农民,且都从事蔬菜种植,平均每户的年收入为2万元.为了调整产业结构,该镇政府决定动员部分农民从事蔬菜加工.据估计,若能动员户农民从事蔬菜加工,则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入比上一年提高,而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入为万元.
(1)在动员户农民从事蔬菜加工后,要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员前100户农民的总年收入,求的取值范围;
(2)在(1)的条件下,要使这100户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的总年收入,求的最大值.
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【题目】我国是世界第一产粮大国,我国粮食产量很高,整体很安全按照14亿人口计算,中国人均粮食产量约为950斤﹣比全球人均粮食产量高了约250斤.如图是中国国家统计局网站中2010﹣2019年,我国粮食产量(千万吨)与年末总人口(千万人)的条形图,根据如图可知在2010﹣2019年中( )
A.我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增
B.2011年我国粮食年产量的年增长率最大
C.2015年﹣2019年我国粮食年产量相对稳定
D.2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰
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【题目】长方、堑堵、阳马、鱉臑这些名词出自中国古代数学名著《九章算术商功》.其中阳马和鱉臑是我国古代对一些特殊锥体的称呼.取一长方,如图长方体ABCD﹣A1B1C1D1,按平面ABC1D1斜切一分为二,得到两个一模一样的三棱柱.称该三梭柱为堑堵,再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开,得四棱锥和三棱锥各一个,其中以矩形为底另有一棱与底面垂直的四梭锥D1﹣ABCD称为阳马,余下的三棱锥D1﹣BCC1是由四个直角三角形组成的四面体称为鱉臑.已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=5,BC=4,AA1=3,按以上操作得到阳马.则该阳马的最长棱长为_____.
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【题目】已知曲线的极坐标方程为,直线的参数方程为(为参数).
(Ⅰ)求曲线的参数方程与直线的普通方程;
(Ⅱ)设点为曲线上的动点,点和点为直线上的点,且.求面积的取值范围.
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【题目】新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺,当地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴,并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府x(万元)补贴后,防护服产量将增加到(万件),其中k为工厂工人的复工率,A公司生产t万件防护服还需投入成本(万元).
(1)将A公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数;
(2)对任意的(万元),当复工率k达到多少时,A公司才能不产生亏损?(精确到0.01)
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【题目】产量相同的机床一和机床二生产同一种零件,在一个小时内生产出的次品数分别记为,,它们的分布列分别如下:
0 | 1 | 2 | 3 | |
0.4 | 0.3 | 0.2 | 0.1 |
0 | 1 | 2 | |
0.2 | 0.6 | 0.2 |
(1)哪台机床更好?请说明理由;
(2)记表示台机床小时内共生产出的次品件数,求的分布列.
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【题目】如图,GH是东西方向的公路北侧的边缘线,某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建设一仓库,设,并在公路北侧建造边长为的正方形无顶中转站CDEF(其中EF在GH上),现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB,AC,已知AB=AC+1,且.
(1)求关于的函数解析式,并求出定义域;
(2)如果中转站四堵围墙造价为10万元/km,两条道路造价为30万元/km,问:取何值时,该公司建设中转站围墙和两条道路总造价M最低.
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【题目】如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,.
(1)求证:B1C⊥AB;
(2)若∠CBB1=60°,AC=BC,且点A在侧面BB1C1C上的投影为点O,求二面角B﹣AA1﹣C的余弦值.
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