Question

已知

a

=(1，x)，

b

=(x2+x，-x)，m为非负实数，记f（x）=m(

a

•

b

)2-(m+1)

a

•

b

+1
（Ⅰ）求f（x）的表达式．
（Ⅱ）求使f（x）＜0成立的x的范围

Answer 1

分析：（I）由f（x）=m(

a

•

b

)2-(m+1)

a

•

b

+1，结合已知中

a

=(1，x)，

b

=(x2+x，-x)，根据向量数量积运算法则，我们易求出f（x）的表达式．
（II）根据（I）的结论，我们易得到一个关于x的不等式，由于该不等式为类二次不等式（二次项系数含有参数），故可分类讨论进行解答．

解答：解：（I）

a

•

b

=x2+x-x2=x
f（x）=mx²-（m+1）x+1（3分）
（II）f(x)=m(

a

•

b

)2-(m+1)

a

•

b

+1＜0?mx2-(m+1)x+1＜0
当m=0时，x＞1（16分）
0＜m＜1时，1＜x＜

1

m

（9分）
m=1时，x不存在（12分）
m＞1时，

1

m

＜x＜1（15分）

点评：本题考查的知识点是平面向量坐标表示的应用，一元二次不等式的解法，其中根据平面向量数量积运算公式计算出函数f（x）的表达式是解答本题的关键．