Question

△ABC的AB边在平面α内，C在平面α外，AC和BC分别与面α成30°和45°的角，且面ABC与α成60°的二面角，那么sin∠ACB的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．1或

Answer 1

【答案】分析：从C向平面作垂线CD，连接AD，BD，作CE⊥AB，连接DE，根据三垂线定理，DE⊥AB，设CD=h，∠CBD=45°，BC=h，∠CAD=30°，AC=2CD=2h，∠CED是二面角的平面角，∠CED=60°，CE=，由勾股定理求出sinC=1；另一种是∠B是钝角，CE在三角形ABC之外，AB=AE-BE=，由余弦定理，求出sinC．
解答：解：从C向平面作垂线CD，连接AD，BD，作CE⊥AB，连接DE，根据三垂线定理，DE⊥AB，设CD=h，∠CBD=45°，BC=h，∠CAD=30°，
AC=2CD=2h，∠CED是二面角的平面角，∠CED=60°，CE=，根据勾股定理，AE=，BE=，AB=AE+BE=h，
根据勾股定理逆定理，AB²=BC²+AC²，
（h）²=（h）²+（2h）²，
∠C=90°，sinC=1，
另一种是∠B是钝角，CE在三角形ABC之外，AB=AE-BE=，
根据余弦定理，AB²=AC²+BC²-2AC×BC×cosC，
（h）²=（2h）²+（h）²-2×2h×hcosC，
cosC=，
sinC==，
故角ACB的正弦值是1或．
故选D．
点评：本题考查与二面角有关的立体几何的综合问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意勾股定理和余弦定理的灵活运用．