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设函数fn(x)=xn+x-1,其中n∈N*,且n≥2,给出下列三个结论:
①函数f3(x)在区间(
1
2
,1)内不存在零点;
②函数f4(x)在区间(
1
2
,1)内存在唯一零点;
③设xn(n>4)为函数fn(x)在区间(
1
2
,1)内的零点,则xn<xn+1
其中所有正确结论的序号为______.
①f3(x)=x3+x-1,∵f3′(x)=3x2+1>0,∴函数在R上是单调增函数,∵f3
1
2
)=-
3
8
<0,f3(1)=1>0,∴函数f3(x)在区间(
1
2
,1)内存在零点,即①不正确;
②f4(x)=x4+x-1,∵f4′(x)=4x3+1,∵x∈(
1
2
,1),∴f4′(x)>0,∴函数在(
1
2
,1)上是单调增函数,∵f4
1
2
)=-
7
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<0,f4(1)=1>0,∴函数f4(x)在区间(
1
2
,1)内存在零点,即②正确;
③fn(x)=xn+x-1,∵fn′(x)=nxn-1+1,∵x∈(
1
2
,1),∴fn′(x)>0,∴函数在(
1
2
,1)上是单调增函数,∵fn+1(x)-fn(x)=xn(x-1)<0,∴函数在(
1
2
,1)上fn+1(x)<fn(x),∵xn(n>4)为函数fn(x)在区间(
1
2
,1)内的零点,∴xn<xn+1,即③正确
故答案为:②③
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数fn(x)=xn+x-1,其中n∈N*,且n≥2,给出下列三个结论:
①函数f3(x)在区间(
1
2
,1)内不存在零点;
②函数f4(x)在区间(
1
2
,1)内存在唯一零点;
③设xn(n>4)为函数fn(x)在区间(
1
2
,1)内的零点,则xn<xn+1
其中所有正确结论的序号为
②③
②③

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R)
(1)设n>2,b=1,c=-1,证明:fn(x)在区间(
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,1)内存在唯一的零点;
(2)设n为偶数,|fn(-1)|≤1,|fn(1)|≤1,求3b+c的最小值和最大值;
(3)设n=2,若对任意x1,x2∈[-1,1],有|f2(x1)-f2(x2)|≤9,求b的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数fn(x)=1+
x
1!
+
x2
2!
+…+
xn
n!
,n∈N*

(1)证明:e-xf3(x)≤1;
(2)证明:当n为偶数时,函数y=fn(x)的图象与x轴无交点;当n为奇数时,函数y=fn(x)的图象与x轴有且只有一个交点.

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科目:高中数学 来源:高考真题 题型:解答题

设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R)。
(1)设n≥2,b=1,c=-1,证明:fn(x)在区间内存在唯一的零点;
(2)设n=2,若对任意x1,x2∈[-1,1],有|f2(x1)-f2(x2)|≤4,求b的取值范围;
(3)在(1)的条件下,设xn是fn(x)在内的零点,判断数列x2,x3,…,xn…的增减性。

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