Question

求下列函数的单调区间，并指出其增减性．
（1）y=a1-x2（a＞0且a≠1）；
（2）y=log

1

2

（4x-x³）．

Answer 1

分析：（1）对底数a分0＜a＜1和a＞1两种情况讨论，根据y=a^x和y=1-x²两个函数的单调性，即可求出复合函数y=a1-x2（a＞0且a≠1）的单调区间及单调性；
（2）先求出函数的定义域，根据对数函数的底数为

1

2

，确定外函数为单调减函数，内函数为y=4x-x³，利用导数大于0和导数小于0，分别确定出内函数的单调性，最后即可求出复合函数y=log

1

2

（4x-x³）的单调区间及单调性．

解答：解：（1）令t=1-x²，则y=a^t，
①当a＞1时，y=a^t在R上为单调递增函数，而t=1-x²在（-∞，0]上单调递增，在[0，+∞）上单调递减，
∴y=a1-x2在（-∞，0]上单调递增，在[0，+∞）上单调递减；
②当0＜a＜1时，y=a^t在R上为单调递减函数，而t=1-x²在（-∞，0]上单调递增，在[0，+∞）上单调递减，
∴y=a1-x2在（-∞，0]上单调递减，在[0，+∞）上单调递增．
综合①②，当a＞1时，y=a1-x2在（-∞，0]上单调递增，在[0，+∞）上单调递减；
当0＜a＜1时，y=a1-x2在（-∞，0]上单调递减，在[0，+∞）上单调递增．
（2）∵y=log

1

2

（4x-x³），要使函数有意义，则4x-x³＞0，解得，x＜-2或0＜x＜2，
∴y=log

1

2

（4x-x³）的定义域为（-∞，-2）∪（0，2）．
令g（x）=4x-x³，g′（x）=-3x²+4，
令g′（x）=-3x²+4＞0，解得，-

2 3

3

＜x＜

2 3

3

，
令g′（x）=-3x²+4＜0，解得，x＜-

2 3

3

或x＞

2 3

3

，
∴g（x）=4x-x³在(-

2 3

3

，

2 3

3

)上单调递增，在(-∞，-

2 3

3

)∪(

2 3

3

，+∞)上单调递减，
y=log

1

2

x在（0，+∞）上单调递减，结合函数y=log

1

2

（4x-x³）的定义域为（-∞，-2）∪（0，2），
∴函数y=log

1

2

（4x-x³）在(0，

2 3

3

)上单调递减，在（-∞，-2）和(

2 3

3

，2)上单调递增．

点评：本题考查了复合函数的单调性，复合函数分别以指数函数和对数函数为背景．对于指数函数和对数函数的单调性与底数的值有关，若底数是参数的话，要注意对参数的分类讨论．另外对于复合函数的单调性要注意把握“同增异减”来判断，求单调区间时要考虑函数的定义域，单调区间是定义域的子集．属于中档题．