Question

已知命题p：椭圆x²+2y²=2的焦距是2； 命题q：?x∈R，sinx-cosx=t+

4

t-1

(t≠1)．下列命题中，为真命题的是（　　）

A．（?p）∨q

B．（?p）∧（?q）

C．p∧（?q）

D．p∧q

Answer 1

分析：根据椭圆的标准方程判断命题P是否为真命题；利用基本不等式求函数值域，求三角函数的值域，判断命题q是否为真命题，然后根据复合命题真值表判断即可．

解答：解：对命题P：∵c²=a²-b²=1，∴2c=2，∴命题P为真命题；￢P为假命题
对命题q：∵g（t）=t+

4

t-1

=t-1+

4

t-1

+1，∴g（t）≥5或g（t）≤-3，
又∵sinx-cosx=

2

sin（x-

π

4

），∴-

2

≤sinx-cosx≤

2

，∴命题q为假命题；￢q为真命题．
根据复合命题真值表，（￢p）∨q为假命题；
（￢p）∧（￢q）为假命题；P∧（￢q）为真命题；P∧q为假命题，
故选C．

点评：本题借助考查复合命题的真假判定，考查了椭圆的标准方程、基本不等式求函数的值域及三角函数的最值问题．尤其是利用不等式求最值时，要注意验证：一、“正”；二、“定”；三、“相等”．