Question

设定义在R上的函数f（x）对于任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且f（1）=-2，当x＞0时，f（x）＜0
（1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）试问：当-3≤x=0≤3时，x=1是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0求出f（0）=0，再令y=-x代入式子化简，结合函数奇偶性的定义，可得f（x）是奇函数；
（2）设-3≤x₁＜x₂≤3，且x₁＜x₂，结合f（x+y）=f（x）+f（y）可得f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁），由x＞0时，有f（x）＞0，可得f（x₂）＞f（x₁），证明函数在[-3，3]上单调递减，再利用赋值法和条件，分别求出函数最大值和最小值．

解答：解：（1）令x=y=0，可得f（0）=0，
令y=-x，则f（0）=f（-x）+f（x），
∴f（-x）=-f（x），∴f（x）为奇函数，
（2）设-3≤x₁＜x₂≤3，令y=-x₁，x=x₂
则f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁），
因为x＞0时，f（x）＜0，
故f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0．
∴f（x₂）＜f（x₁）、f（x）在区间[-3，3]上单调递减，
∴x=-3时，f（x）有最大值，
f（-3）=-f（3）=-f（2+1）=-[f（2）+f（1）]=-[f（1）+f（1）+f（1）]=6．
x=3时，f（x）有最小值为f（3）=-6．

点评：本题考查抽象函数的性质，涉及函数奇偶性、单调性的判断，以及函数最值，解此类题目，注意赋值法的运用．