Question

如图，PA垂直⊙O所在平面ABC，AB为⊙O的直径，PA=AB，BF=，C是弧AB的中点．
（1）证明：BC⊥平面PAC；
（2）证明：CF⊥BP；
（3）求二面角F-OC-B的平面角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用线面垂直的性质及已知PA⊥平面ABC，可得BC⊥PA．再利用∠ACB是直径所对的圆周角，可得BC⊥AC．再利用线面垂直的判定定理即可证明结论；
（2）由于PA⊥平面ABC，利用线面垂直的性质即可得到OC⊥PA．再利用等腰三角形的性质可得OC⊥AB，得到OC⊥平面PAB，取BP的中点为E，连接AE，可得OF∥AE，AE⊥BP，进而得到BP⊥平面CFO即可．
（3）利用（2）知OC⊥平面PAB，可得OF⊥OC，OC⊥OB，于是∠BOF是二面角F-OC-B的平面角．由已知可得∠FOB=45°即可得出．
解答：（1）证明：∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥PA．
∵∠ACB是直径所对的圆周角，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC．
又∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．
（2）∵PA⊥平面ABC，OC?平面ABC，
∴OC⊥PA．
∵C是弧AB的中点，∴△ABC是等腰三角形，AC=BC，
又O是AB的中点，∴OC⊥AB．
又∵PA∩AB=A，∴OC⊥平面PAB，又PB?平面PAB，
∴BP⊥OC．
设BP的中点为E，连接AE，则OF∥AE，AE⊥BP，
∴BP⊥OF．
∵OC∩OF=O，∴BP⊥平面CFO．又CF?平面CFO，∴CF⊥BP．
（3）解：由（2）知OC⊥平面PAB，∴OF⊥OC，OC⊥OB，
∴∠BOF是二面角F-OC-B的平面角．
又∵BP⊥OF，∠FBO=45°，∴∠FOB=45°，
∴，即二面角FOOC-B的平面角的正弦值为．
点评：本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、圆的性质、三角形的中位线定理、等腰三角形的性质、二面角等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．