Question

如图，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点（起点）向A点（终点）移动，设P点移动的路程为x，△ABP的面积为y=f（x）．
（1）求△ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式；
（2）作出函数的图象，并根据图象求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）先求出定义域，然后根据点P的位置进行分类讨论，根据三角形的面积公式求出每一段△ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式，最后用分段函数进行表示即可；
（2）根据每一段的函数解析式画出每一段的函数图象，结合函数图象即可求出函数的最大值．

解答：解：（1）由于x=0与x=12时，三点A、B、P不能构成三角形，故这个函数的定义域为（0，12）．
当0＜x≤4时，S=f（x）=

1

2

•4•x=2x；
当4＜x≤8时，S=f（x）=8；
当8＜x＜12时，S=f（x）=

1

2

•4•（12-x）=2（12-x）=24-2x．
∴这个函数的解析式为
f（x）=

2x x∈(0，4] 8 x∈(4，8] 24-2x x∈(8，12).

（2）其图形为右上图，由图知，[f（x）]_max=8．

点评：本题主要考查了函数解析式的求解，以及分段函数的图象等有关基础知识，分类讨论的数学思想，属于基础题．