精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn,且满足:a3•a4=117,a2+a5=22.
(1)求数列an的通项公式an
(2)若数列bn是等差数列,且bn=
Sn
n+c
,求非零常数c;
(3)若(2)中的bn的前n项和为Tn,求证:2Tn-3bn-1
64bn
(n+9)bn+1
分析:(1)利用等差数列的性质可得
a2+a5=a3+a4=22
a3a4 =117
,联立方程可得a3,a4,代入等差数列的通项公式可求an
(2)代入等差数列的前n和公式可求sn,进一步可得bn,然后结合等差数列的定义可得2b2=b1+b3,从而可求c
(3)要证原不等式A>B?A>M,B<M,分别利用二次函数及均值不等式可证.℃
解答:解:(1)an为等差数列,a3•a4=117,a2+a5=22
又a2+a5=a3+a4=22
∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的两个根,d>0
∴a3=9,a4=13
a1+2d=9
a1+3d=13

∴d=4,a1=1
∴an=1+(n-1)×4=4n-3
(2)由(1)知,sn=n+
n(n-1)×4
2
=2n2-n

bn=
sn
n+c
=
2n2-n
c+n

b1=
1
1+c
b2=
6
2+c
b3=
15
3+c

∵bn是等差数列,∴2b2=b1+b3,∴2c2+c=0,
c=-
1
2
(c=0舍去),
(3)由(2)得bn=
2n2-n
n-
1
2
=2n
Tn=2n+
n(n-1)×2
2
=n2+n=(n+1)n

2Tn-3bn-1=2(n2+n)-3(2n-2)=2(n-1)2+4≥4,
但由于n=1时取等号,从而等号取不到2Tn-3bn-1=2(n2+n)-3(2n-2)=2(n-1)2+4>4,

64bn
(n+9)bn+1
=
64×2n
(n+9)•2(n+1)
=
64n
n2+10n+9
=
64
n+
9
n
+10
≤4

n=3时取等号(15分)
(1)、(2)式中等号不能同时取到,所以2Tn-3bn-1
64bn
(n+9)bn+1
点评:本题主要考查了等差数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的综合运用,及不等式的证明,在不等式的证明中又运用了二次函数及均值不等式求函数的值域,是一道综合性很好的试题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足:a3•a4=117,a2+a5=22.
(1)求数列{an}的通项公式an
(2)若数列{bn}是等差数列,且bn=
Snn+c
,求非零常数c.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知公差大于零的等差数列{an},前n项和为Sn.且满足a3a4=117,a2+a5=22.
(Ⅰ)求数列an的通项公式;
(2)若bn=
Sn
n-
1
2
,求f(n)=
bn
(n+36)bn+1
(n∈N*)的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a3•a4=117,a2+a5=22,
(1)求通项an
(2)若数列{bn}满足bn=
Snn+c
,是否存在非零实数c,使得{bn}为等差数列?若存在,求出c的值,若不存在,说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•烟台一模)已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和Sn,且满足:a2•a4=65,a1+a5=18.
(1)若1<i<21,a1,ai,a21是某等比数列的连续三项,求i的值;
(2)设bn=
n(2n+1)Sn
,是否存在一个最小的常数m使得b1+b2+…+bn<m对于任意的正整数n均成立,若存在,求出常数m;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

同步练习册答案