Question

设函数f（x）=-4x+b，且不等式|f（x）|＜c的解集为{x|-1＜x＜2}．
（1）求b的值；
（2）解关于x的不等式（4x+m）f（x）＞0（m∈R）．

Answer 1

分析：（1）解绝对值不等式|f（x）|＜c，结合不等式|f（x）|＜c的解集为{x|-1＜x＜2}．我们可以构造关于b，c的方程组，解方程组即可得到b的值；
（2）由于不等式中含有参数m，故我们要对参数m进行分类讨论，分m=-2，m＞-2，m＜-2三种情况进行讨论，最后综合讨论结果即可得到答案．

解答：解：（1）∵f（x）=-4x+b
∴|f（x）|＜c的解集为{x|

b-c

4

＜x＜

b+c

4

}
又∵不等式|f（x）|＜c的解集为{x|-1＜x＜2}．
∴

b-c 4 =-1 b+c 4 =2

解得：b=2
（2）由（1）得f（x）=-4x+2
若m=-2
则（4x+m）f（x）=（4x-2）（-4x+2）≤0恒成立
此时不等式（4x+m）f（x）＞0的解集为∅
若m＞-2
则-

m

4

＜

1

2

则（4x+m）f（x）＞0的解集为（-

m

4

，

1

2

）
若m＜-2
则-

m

4

＞

1

2

则（4x+m）f（x）＞0的解集为（

1

2

，-

m

4

）

点评：本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，一元二次不等式的应用，其中（1）的关键是解绝对值不等式并根据已知构造关于b，c的方程组，（2）的关键是对参数m分m=-2，m＞-2，m＜-2三种情况进行讨论．